زوايا المثلثات المشهورة

زوايا المثلثات المعروفة، أي مثلث يحتوي على ثلاث زوايا حيث يكون مجموع زوايا المثلثات المعروفة 180 درجة، بغض النظر عن نوع المثلث. وتتعلق خطوطنا التالية بمفهوم المثلث وتشرح إجابة السؤال المطروح، و سيتم مناقشة نظرية فيثاغورس وأهميتها وكيفية إثباتها.

تعريف المثلث

يُعرف المثلث بالشكل المغلق ثنائي الأبعاد وثلاثي الجوانب، ويتكون من ثلاثة مقاطع مستقيمة، تتقاطع جوانبها وتشكل زوايا ورؤوسًا. تتوافق الزاوية الداخلية بالإضافة إلى أكبر جانب في المثلث إلى الزاوية الداخلية الأكبر، والمصطلحات المرتبطة بالمثلث هي

• الرأس هذا هو ركن المثلث لأن لكل مثلث ثلاثة رءوس.
• القاعدة أي جانب من المثلث يشكل القاعدة.
• وسيط المثلث هو الخط الذي يمتد من رأس المثلث إلى منتصف الضلع المقابل، لأن المثلث به ثلاثة منهم، ويتقاطعون عند نقطة واحدة تسمى النقطة المركزية للمثلث.
• الارتفاع هو العمود الذي ينتقل من القاعدة إلى قمة المثلث المقابل، وهناك ثلاثة ارتفاعات مختلفة وتتقاطع عند نقطة تسمى منطقة الارتفاعات أو المركز الأيمن.

الزوايا المعروفة للمثلثات

المثلث هو شكل من ثلاثة جوانب ويتكون من ثلاثة أجزاء مستقيمة، ويعتمد نوع المثلث على حجم الزاوية وطول ضلعها. وهو مقسم بناءً على الزوايا التي لديه، والتي سيتم عرضها كما يلي

• المثلث القائم الزاوية هذا المثلث له زاوية 90 درجة وزاويتان حادتان.
• المثلث المنفرج يتكون هذا المثلث من زاويتين حادتين وزاوية منفرجة قياسها أكثر من 90 درجة.
• المثلث الحاد يتكون هذا المثلث من ثلاث زوايا حادة، والزاوية الحادة هي زاوية قياسها أقل من 90 درجة.

أنواع المثلثات وخصائصها.

تقسيم المثلثات حسب أطوال الأضلاع إلى ثلاثة أنواع، حيث يمكن تمييز الأضلاع المتساوية الطول بوضع خط مائل عليها، وهذه الأنواع ستوضح أدناه

• مثلث سكيدان مثلث ليس له نفس الطول أو زوايا قياس متساوية.
• مثلث متساوي الأضلاع هذا مثلث له ثلاثة أضلاع متساوية وثلاث زوايا متساوية، كل منها 60 درجة.
• مثلث متساوي الساقين هذا مثلث له ضلعين بنفس الطول وزاويتان متساويتان، وهما زاويتا القاعدة.

خصائص المثلث

يعتبر المثلث مضلع بثلاثة أضلاع وثلاث زوايا وثلاثة رؤوس ويمكن تلخيص أهم الخصائص العامة للمثلث على النحو التالي

• مجموع زوايا المثلث الثلاث يساوي 180 درجة.
• مجموع أطوال أي ضلع من أضلاع المثلث أكبر من طول الضلع الثالث.
• الفرق في أطوال أي ضلع من ضلعي المثلث أقل من طول الضلع الثالث.
• يعتبر الضلع المقابل للزاوية الأكبر في المثلث هو الضلع الأطول.
• الزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع زاويتين داخليتين متباعدتين وتُعرف باسم خاصية الزاوية الخارجية.
• تكون المثلثات متشابهة إذا كانت الزوايا المتقابلة لمثلثين متساوية وأطوال أضلاعها متناسبة.
• يمكن كتابة صيغة مساحة المثلث ومحيط المثلث على النحو التالي
  • صيغة مساحة المثلث = ½ x القاعدة x الارتفاع.
  • محيط المثلث = مجموع الأضلاع الثلاثة.
• يسمى المثلث الذي تكون فيه جميع زواياه أقل من 90 درجة بالمثلث الحاد.
• يسمى المثلث الذي تزيد إحدى زواياه عن 90 درجة بالمثلث المنفرج.

كيفية حساب ارتفاع المثلث

يتم حساب ارتفاع المثلث إذا كانت مساحته وطول قاعدته معروفة من قانون مساحة المثلث، لجميع أنواع المثلثات، عن طريق تحويل قانون مساحة المثلث = (1/2 × القاعدة × الارتفاع) والحصول على ارتفاع المثلث = (2 × مساحة) / قاعدة حيث يمكن تطبيقها من خلال مثال. إذا كان هناك مثلث بمساحة 20 سم² وطول قاعدته 4 سم، فيمكن حسابه على النحو التالي

• صيغة ارتفاع المثلث = (2 × مساحة) / القاعدة
• عوض عن القيم الواردة في القانون الارتفاع = (2 × 20) / 4 = 40/4
• الارتفاع = 10 سم.

نظرية فيتاغورا

تُعرف نظرية فيثاغورس بأنها واحدة من أقدم النظريات المعروفة، حيث سميت على اسم عالم الرياضيات والفيلسوف اليوناني فيثاغورس، وسيتم شرح نظرية فيثاغورس وأهميتها أدناه

قانون نظرية فيثاغورس

تنص نظرية فيثاغورس على ما يلي مجموع أطوال ضلعين مستقيمين، وهما أقصر ضلعين في مثلث قائم الزاوية، يساوي مربع طول الوتر، وهذا يعد أطول ضلع في المثلث . بما أن المثلث الذي تنطبق عليه نظرية فيثاغورس هو A² + B² = C²، فهذا بالضرورة مثلث قائم الزاوية، وهو عبارة عن تطبيقات عديدة للنظرية. نظرية فيثاغورس وهي كالتالي

• حدد ما إذا كان مثلثًا قائمًا أم لا.
• أوجد طول قطر المربع أو المستطيل.
• أوجد طول أي ضلع من أضلاع المثلث إذا كانت أطوال الضلعين الآخرين للمثلث القائم الزاوية معروفة.

أهمية نظرية فيثاغورس

تعتبر نظرية فيثاغورس من النظريات المهمة في الرياضيات حيث لها تطبيقات عديدة، وسيتم شرح أهمية النظرية على النحو التالي

• وضح شكل المثلث ونوعه. عندما يكون مربع الوتر مساويًا لمجموع مربعات الضلعين الآخرين، فهو مثلث قائم الزاوية، وعندما يكون مربع الوتر أطول من المربع من الضلعين الآخرين، يكون المثلث منفرج الزاوية، وعندما يكون مربع الوتر أقل من مربع الضلعين الآخرين، يسمى المثلث ذو الزاوية الحادة.
• تساعد النظرية في حساب أطوال الأضلاع المخفية ليس فقط في المثلثات، ولكن أيضًا في المربعات والمستطيلات.
• تساعد هذه النظرية البناة في الحفاظ على قياسات الزاوية المناسبة عند تشييد المنازل والمباني.

صورة لنظرية حساب المثلثات فيثاغورس

تُعرف باسم نظرية فيثاغورس، وقد سميت على اسم العالم فيثاغورس، عالم من اليونان القديمة، الذي أوضح أن عكس نظرية فيثاغورس هو أنه إذا كان المثلث به مربع جانب واحد يساوي مجموع مربعات الأضلاع ضلعي المثلث الآخرين، فالزاوية المقابلة للضلع الأكبر تكون مستطيلة، أي تساوي 90 درجة.

أمثلة على مثلثات فيثاغورس الشهيرة

هناك العديد من الأمثلة التي توضح كيفية حساب طول الضلع أو الوتر في نظرية فيثاغورس، بالإضافة إلى التحقق مما إذا كان المثلث صحيحًا أم لا. وإليك بعض الأمثلة

• المثال الأول مثلث قائم الزاوية طول ضلعه الأول 12 سم وطول ضلعه الثاني 5 سم ما هو طول وتره
  • عوض عن أطوال الأضلاع في معادلة فيثاغورس كما يلي (أ² + ب² = ج²).
  • اتضح أن (12) ² + (5) ² = ج²، حيث c² = 169.
  • بحساب الجذر التربيعي لكلا الطرفين، نحصل على c = 13 وطول الوتر = 13 cm.
• المثال الثاني توضيح قطر مربع 1 سم وطول الوتر
  • ينقسم قطر المربع إلى مثلثين متساويين.
  • وبالتالي، فإن أطوال أضلاع المربع = أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية تساوي 1 سم.
  • عوّض بطول الأضلاع في معادلة فيثاغورس لتحصل على هذا أ² + ب² = ج²، وستحصل على ج² = 2.
  • بحساب الجذر التربيعي للطرفين، نحصل على c = 1.414.
  • طول الوتر u003d طول قطر المربع = 1.414 سم.

حساب زوايا المثلثات المعروفة

إذا كانت قيمة زاويتين في المثلث معروفة، لكن قياس الزاوية الثالثة غير معروف، فيمكن حساب قياسها بطرح مجموع الزاويتين من 180 درجة كمجموع قياس الزوايا الداخلية للزاوية مثلث. مثلث = 180، والطرق التالية تساعد في إيجاد قيمة زوايا المثلث بأنواعه المختلفة

• حساب زوايا المثلث القائم يمكن التعرف على المثلث القائم إذا كانت إحدى زواياه 90 درجة، ويمكن تفسير المعادلة على النحو التالي
  • س + ص + 90 = 180.
  • س + ص = 90 لأن (س، ص) هي زوايا المثلث القائم.
• حساب زوايا مثلث متساوي الساقين يسمى هذا الاسم المثلث متساوي الساقين لأن الزوايا عند القاعدة متساوية في القياس، لذلك يمكن صياغة مجموع زوايا هذا المثلث على النحو التالي
  • 2 س س + ص = 180، حيث س هو قياس زاوية القاعدة وص هو قياس زاوية القمة.
• حساب زوايا مثلث متساوي الأضلاع يمكن تفسير المثلث متساوي الأضلاع على أنه مثلث متساوي الأضلاع بزوايا، لأن قياس كل زاوية من زواياه يكون دائمًا 60 درجة، وبالتالي
  • C + C + S = 180. خذ 3٪ C = 180.
  • قسّم كلا الجزأين على الرقم 3.
  • اتضح أن قيمة x = 60 درجة.

كيف يتم قياس زوايا المثلثات المعروفة

يمكن قياس زوايا المثلثات الشائعة بأدوات هندسية مثل المنقلة أو المنقلة الرقمية، لكن هذا الباحث غير مناسب كأداة رسم تقني لأن المحور لن يكون مسطحًا على الورق، على عكس المنقلة، بالإضافة إلى أنه آلة مصنوعة من الفولاذ المقاوم للصدأ، والتي قد تكون آلة شارب وغير مناسبة لاستخدام الأطفال.

الزوايا الخارجية للمثلث

تُعرَّف الزاوية الخارجية على أنها نتيجة لشكل هندسي مسطح على أنها الزاوية بين أحد جانبيها وهي استمرار للجانب الآخر، حيث أن مجموع الزوايا الخارجية الثلاث لأي مثلث هو 360 درجة، والزوايا خارج يمكن أيضًا الحصول على المثلث عن طريق رسم شعاع أو خط مستقيم يمتد من أحد الجانبين، وبالتالي فإن الزاوية الخارجية هي الزاوية بين هذا الامتداد وجانب المثلث المجاور له.

حساب أضلاع المثلث القائم

يعتبر المثلث القائم الزاوية أحد أهم أنواع المثلثات في علم المثلثات، حيث يتكون المثلث القائم الزاوية من ثلاثة جوانب وزاوية قائمة واحدة، والزاوية القائمة قياس 90 يُشار إليها بمربع في الزاوية، وواحد من الأخيرين يُشار إلى الزوايا بالرمز x، حيث أن الضلعين الآخرين متعامدين مع بعضهما البعض، ويسمى كل منهما ضلع المثلث القائم أو الضلع المستقيم. يمكن حساب المثلث القائم الزاوية باستخدام نظرية فيثاغورس، وتصنف الأضلاع الثلاثة للمثلث على النحو التالي

• الضلع المجاور وهو الضلع المجاور للزاوية x أو القريب منها.
• الضلع المقابل الضلع المقابل للزاوية x.
• الوتر هذا هو أطول ضلع في المثلث، وهو الضلع المقابل للزاوية القائمة.

الهويات المثلثية الأساسية

فيما يلي أهم النسب المثلثية أو وظائف المثلثات القائمة اليمنى في حساب المثلثات

• الجيب حيث يرمز له (S) وقانونه في مثلث قائم الزاوية Jas = الضلع المقابل للزاوية x ÷ وتر المثلث.
• جيب التمام يُشار إليه (cos)، وقانونه في مثلث قائم الزاوية هو cos x = الضلع المجاور للزاوية x ÷ وتر المثلث.
• الظل يُشار إليه (za)، وقانونه في المثلث القائم هو tan x = الضلع المقابل للزاوية x ÷ الضلع المجاور للزاوية، والتي يمكن اختزالها على النحو التالي x = sin (x) / cos (x).
• الجلسة يُشار إليها (Q)، لكن قانونها في مثلث قائم الزاوية هو sx = مثلث وتر المثلث ÷ الضلع المجاور للزاوية x = 1 ÷ cos x.

وهكذا وصلنا إلى نهاية مقالنا الذي أثار تساؤل زوايا المثلثات الشهيرة، حيث أجبنا على هذا السؤال، حيث تم شرح مفهوم المثلث وأبرز خصائصه العامة، وكذلك نظرية فيثاغورس، معناه ونصه وبعض الأمثلة عليه، وكذلك تحديد جوانب المثلث القائم الزاوية.